Nombres complexes
Les nombres complexes est un nouvel ensemble notés ℂ, qui va bien au-delà des nombres réels (ℝ), il possède de nouvelle règle et de nouvelle propriété avec nombre noté 𝒾
Les bases
Les nombres complexes sont tous les nombres 𝐳 qui s'écrivent de manière unique sous la forme 𝒂+𝒾𝒃 ou 𝒂 et 𝒃 sont deux réels et 𝒾 vérifie 𝒾²=-1
- On dit que 𝒂+𝒾𝒃 est la forme algébrique
- Pour tout nombre complexe 𝐳=𝒂+𝒾𝒃, le nombre 𝒂 est appelé partie réelle de 𝐳 et le nombre 𝒃 est appelé partie imaginaire de 𝐳.
Affixe
On peut interpréter géométriquement la forme algébrique de tout nombre complexe, le nombre complexe 𝐳=𝒂+𝒾𝒃 est représenté par le point M de coordonnées (a;b). On dit alors que 𝐳=𝒂+𝒾𝒃 est l'affixe du point M mais aussi du vecteur AM.
Conjugué
Sois un nombre complexe 𝐳=𝒂+𝒾𝒃. On appelle nombre complexe conjugué de z, le nombre 𝐳 (z barre) =𝒂-𝒾𝒃
- On garde la meme partie réelle
- On prend l'opposé de la partie imaginaire
Module et argument
Soit 𝐳=𝒂+𝒾𝒃 un nombre complexe, on appelle module de 𝐳 le nombre réel positif noté |𝐳| et défini par |𝐳| = √𝒂²+𝒃² (racine carré). On appelle argument de 𝐳 (non-nul), notée (arg(𝐳)) une mesure en radians tout mesure de l'angle
- Le module représente la distance du point à son origine
- L'argument représente l'angle (u;AM)
Les différentes formes
La forme algébrique
S'écrit 𝒂+𝒾𝒃 (cf voir "Les bases")
La forme trigonométrique
On appelle forme trigonométrique d'un nombre complexe 𝐳 non nul l'écriture 𝐳 = |𝐳| (cos(θ) + 𝒾 sin(θ)), avec θ = arg(𝐳)
La forme exponentielle
On appelle forme exponentielle d'un nombre complexe 𝐳 non nul l'écriture 𝐳=|𝐳|𝓮iθ
Les propriétés
